Mathematik der Musik

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pipe-2329850_1280Musikgenuss kann Gänsehaut verursachen, und sie kann dieselben hormonellen Belohnungseffekte hervorbringen wie Essen, Drogen und Sex (Bild: TJENA, pixabay).

Solche Erkenntnisse entnimmt man dem Artikel How maths helps us understand why music moves people (The Conversation 10.7.). Der Artikel widmet sich den höheren Weihen und spricht von musikalischen Kliffkängern, die einen fühlbaren Knoten im Bauch verursachen (das Liedchen Happy Birthday). Solche Spannungen werden mathematisch summiert und gewichtet, bis sie sich in einem spiral array model (wiki) wiederfinden, in dem die Harmonie der Töne auf Spiralen dargestellt wird. Dabei spielt die Entfernung vom etablierten (harmonischen) "Gravitationszentrum" eine Rolle, sie wird dynamisch genutzt, um Interesse zu wecken und Aufmerksamkeit zu generieren. Weitere Veranschaulichungen zeigen tipping points (music perception), Richtungswechsel und Verspannungen gegen das Metrum. Es erstaunt nicht, dass für unterschiedliche Interpreten unterschiedliche solche tipping points gemessen werden.

Die Spiralen wiederum basieren auf dem pitch space (wiki), einer flächenmäßigen Darstellung des Tonraums. Dort wird auch das allereinfachste Modell angegeben, wo die 12 Halbtöne logarithmisch auf die Oktave verteilt sind. Der Kammerton A (f = 440 Hz) bekommt dabei die Nummer p = 69, und das C ist die Nummer p = 60 (9 Halbtöne unter A, Formel aus dem wiki-Link):

                                      

Auf deutsch findet sich das Eulersche Tonnetz (wiki), bei dem die Tonschritte aus den Oberwellen hergeleitet werden. Weitere Überlegungen dazu sind aus keiner speziellen Literaturquelle entnommen, sie ergeben sich quasi von alleine: Die Oktave ist die reinste Harmonie, sie hat die doppelte Frequenz (auch erste Oberwelle genannt).

Innerhalb der Oktave hat die Quint (7 Halbtonschritte) die beste Übereinstimmung: sie entspricht der 1,5-fachen Frequenz (die zweite Oberwelle hat die dreifache Frequenz, das ist die Quint eine Oktave höher, also Faktor 3/2 für die Quint). Die Frage ist, wie genau sind 12 Quinten (= 12*7 Halbtonschritte) gleich 7 Oktaven (7*12 Halbtonschritte)? Also (3/2)12 ≈ 27? Nach Faktoren aufgedröselt wird das zu 312 = 531441 ≈ 219 = 524288. Das sind auf 12 Quinten nur 1,4% Abweichung und auf eine Quint 0,12%. Kein Wunder, dass sich die Quinten so harmonisch anhören. Und auch die Quarten, die das Komplement zur Oktave sind. Eine Quint und eine Quart ergeben eine Oktave, die Frequenz 3/2 * 4/3 = 2.

Bei der großen Terz (5/4 der Frequenz, also die vierte Oberwelle 2 Oktaven tiefer) ist es nicht so schön. Sind 3 große Terzen (= 3*4 Halbtonschritte) gleich 1 Oktave? Also (5/4)3 ≈ 2? Das wird zu 53 = 125 ≈ 27 = 128. Da hat man 2,4% Abweichung, pro großer Terz 0,8%. Das ist immerhin so viel, dass manche Rockstars die Terzen auf ihrer Gitarre weglassen, weil sie die kleine Disharmonie bei extremer Lautstärke stört. Die kleine Terz (6/5) addiert sogar die Abweichung von großer Terz und Quint zu 0,92%.

Bei den einzelnen Ganztonschritten klemmt es auch, die werden unterschieden nach 9/8 der Grundfrequenz (0,45% Abweichung) oder 10/9 (2% Abweichung!). Die Halbtonschritte sind 16/15 der Grundfrequenz (1,4% Abweichung!). Zusammen ergibt das folgendes Schema, bei dem sich alles prima zurechtrechnet (Bild: Joachim Mohr, Wikimedia Commons):

  • zwei Quinten minus eine Oktave ergeben einen Ganztonschritt (7+7-12 = 2 Halbtonschritte, 1. Beispiel)
  • ein Ganzton plus noch ein (ähnicher) Ganzton soll eine große Terz ergeben (4-2 = 2 Halbtonschritte, 2. Beispiel)
  • die Differenz zwischen Quart und Quint gibt einen Halbtonschritt (7-6 = 1 Halbton, 3. Beispiel)
  • die große Terz ist dann (9/8) * (10/9) = 5/4
  • die Quart ist (5/4) * (16/15) = 4/3 usw.

828px-Reine_C-Dur_TonleiterDas "Tiefkomma" vor den Noten besagt, dass die Töne jeweils ein syntonisches Komma (wiki) tiefer liegen, und die Rechnung in Cent erlaubt kleinste Tonschritte zu bezeichnen (Oktave = 12 Halbtonschritte = 1200 Cent).

Wenn man das Schema mit den Oberwellen weiter verfolgt, können klarerweise nicht alle von den 12 Halbtönen getroffen werden. Benutzt werden die erste, zweite, dritte, vierte Oberwelle (Faktoren 2, 3, 4, 5) und deren Produkte. Die sechste Oberwelle (Faktor 7) ist nicht dabei. Der entsprechende Ton liegt 1,8% über dem b und wäre von daher eher dissonant. Weil er aber die sechste Oberwelle enthält, sollte ihm trotzdem eine gewisse Harmonie zukommen.

Die Zahlenbeispiele zeigen, wie unterschiedlich harmonisch die logarithmische Aufteilung (gleichstufige Stimmung, wiki) und die Ableitung von den Oberwellen sind. Daher ist es verständlich, wenn andere Kulturen andere Tonstufen kennen. Anhand der Oberwellen könnte man die Tonstufen harmonischer wählen, nur gibt es dann Probleme, sobald man die Tonart oder auch nur die Oktave wechselt.

 

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