Größte bekannte Primzahl gefunden …

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banner-1183445_1280Diese Meldung machte die Runde: Die größte bekannte Primzahl wurde gefunden (1. Link unten, Bild: TheDigitalArtist, pixabay). Aber was bedeutet das eigentlich? Hat man die größte bekannte Primzahl verloren, und jetzt wurde sie wiedergefunden? Oder falls sie neu gefunden wurde, wieso war sie dann schon bekannt?

Um das rätselhafte Wesen der Primzahlen zu ergründen, sei eine Rückbesinnung auf die Basisfakten erlaubt. Primzahlen, das sind natürliche Zahlen (positive ganze Zahlen), die nur durch 1 und sich selber teilbar sind. Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271 …

Auffällig ist, dass nur eine gerade Zahl dabei ist, die 2. Außerdem gibt es eine besondere Abart der Primzahlen, die Mersenne-Primzahlen, die sich in der Form 2n -1 schreiben lassen, Beispiele mit n = 2, 3, 5, 7 … sind 3, 7, 31, 127 … In binärer Schreibweise bestehen diese Zahlen nur aus Einsen: 11, 111, 11111, 1111111 … Diese Mersenne-Zahlen haben den Sportsgeist der Mathematiker entfacht. Seit langem wetteifert die Branche darum, die höchste Primzahl zu finden, wobei die meisten es mit Mersenne-Zahlen versuchen. Die historische Liste (auszugsweise aus wiki): 

Jahr Potenz Ziffern
1588   217−1 6
1876 2127−1 39
1952 22.281−1 687
1971  219.937−1 6.002
1999  26.972.593−1 2.098.960
2013  257.885.161−1 17.425.170
2017 277.232.917–1 23.249.425

Die unterste Zeile gibt die neu gefundene Mersenne-Primzahl wieder, die nun die größte bekannte Primzahl ist (2.). Die Suche wird mit Computern durchgeführt, in diesem Fall dezentral auf hunderttausenden von PCs (3.). Die Software gibt jedem Rechner Teilaufgaben, z.B. ist 274.207.281–1 durch irgendeine Primzahl teilbar? Der Exponent muss dabei eine Primzahl sein (4.), der nächste Rechner versucht also mit der nächsten Primzahl den Lucas-Lehmer-Test oder einen anderen Primzahlen-Test.

Warum diese Sucherei? Was ist der Nutzen der Primzahlen? Nun ja, sie werden für Verschlüsselungen und digitale Signaturen verwendet. Dafür macht es Sinn, eine Menge große Primzahlen zu kennen. Mit fortschreitender Rechnerpower macht es auch Sinn, immer größere Primzahlen zu kennen, weil die Codes durch Primzahlen-Faktorisierung zu knacken sind. Aber gibt es denn genug Primzahlen?

Ja, nach dem Satz von Euklid gibt es unendlich viele davon. Das wird durch Widerspruch bewiesen: Sind die Primzahlen endlich, gibt es ein Produkt m aus allen Primzahlen. Die Zahl m+1 kann demnach keine Primzahl sein. Sie muss also einen Primteiler q besitzen, der auch in m drinsteckt. Für m und m+1 ist aber nur die 1 ein gemeinsamer Teiler.

Es steht also nicht zu befürchten, dass den Mathematikern die Primzahlen ausgehen. Ein süffisanter Kommentar dazu war zu hören: Wenn den Bitcoin-Schürfern die Bitcoins ausgehen (das Maximum von 21 Mio. und soll 2040 erreicht sein), können sie ihre Computerparks ja auf Primzahlen umrüsten. 

 

Medien-Links: (wiki)

  1. Mathematik: Die größte bekannte Primzahl ist gefunden (Zeit Online 5.1.): Hunderttausende Menschen lassen ihre Rechner gemeinsam nach Primzahlen suchen. Jetzt wurde von dem Netzwerk die 50. Mersenne-Primzahl entdeckt
  2. 50th Known Mersenne Prime Found!  (GIMPS 3.1.) GIMPS ist Great Internet Mersenne Prime Search
  3. Great Internet Mersenne Prime Search (wiki)
  4. Mersenne-Primzahlen (Mathe TU Freiberg)

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