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#198 Argutus am 4. April 2012 um 21:03
Nein, das ist nicht die richtige Erklärung. Beispielsweise bei der Gleichung
(5 + 3)² = (10 – 2)² kann man das durchaus, denn 5 + 3 = 10 – 2.
Doch, das ist schon die richtige Erklärung, denn das es in einigen Fällen klappt, heisst nicht das man es verallgemeinern und generell so machen kann. 3 halbe sind 1,5 und 2 – 1,5 = 0,5 und 1 – 1,5 ergibt -0,5. Beide Ausdrücke sind nicht identisch aber ihr Quadrat ist es. Deshalb kann man die Quadratische Klammer nicht einfach wegnehmen, sondern muss sich die Mühe machen sie ordentlich aufzulösen, womit man wieder bei Schritt 3 wäre.
Dazu fällt mir spontan Kroneckers Spruch "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" ein.
Eine in den USA recht bekannte Youtuberin is "Vihart" alias Victoria Hart. Sie macht unterhaltsame Videos zum Thema Mathematik und in ihrem Video zum ersten April machte sie ein nettes Scherzvideo, in dem sie auf ähnlich spitzfindige Art wie in Argutus' Beispiel bewies, das die Annahme, 0,999… wäre identisch mit 1 nicht korrekt ist.
P.S. sie spricht zwar gutverständliches Englisch, aber man muss trotzdem sehr gut zuhören, da sie sehr schnell quasselt. (Na ja, Frau halt)
http://www.youtube.com/watch?v=wsOXvQn3JuE
#1 Firithfenion am 4. April 2012 um 21:21
Die Regel ist viel allgemeiner. Im positiven Fall kann man das Quadrat grundsätzlich einfach wegstreichen und im negativen ist die Operation gar nicht gestattet – und zwar unabhängig davon, ob man es mit Binomen zu tun hat (die man auch auflösen könnte) oder mit irgend etwas sonst.
Psychologisch beruht das verblüffende falsche Ergebnis einfach darauf, daß man das Gefühl hat, daß, wenn man Gleiches gleich behandelt, nachher wieder Gleiches erhalten muß. Das gilt aber in der Mathematik nur eingeschränkt, und wenn man diese Einschränkungen nicht kennt oder mißachtet, dann kann das eben zu Fehlern führen.
- 2 = – 2
4 – 6 = 1 -3
4 – 6 + 9/4 = 1 – 3 +9/4
(2 -3/2²)² = (1 – 3/2)² <=> 1/2² = – 1/2² <=> 1/4 =1/4
2 – 3/2 = 1 – 3/2 <=> Klammer und Potenz beidseits weggelassen < <=> + 1/2 = – 1/2
2 – 3/2 = 1 – 3/2 <=> / +3/2
–> 2 = 1
OK. Logisch
Danke für den Denksport!!
#4 Argutus am 4. April 2012 um 21:45
Die Regel ist viel allgemeiner. Im positiven Fall kann man das Quadrat grundsätzlich einfach wegstreichen und im negativen ist die Operation gar nicht gestattet
Woher soll man aber wissen ob das Ergebnis positiv oder negativ ist? Das geht nur in dem Falle wenn man die Gleichung auflösen kann, und dann wird die Gleichungsform ja ohnehin nicht mehr benötigt. Wenn wir aber mit Variablen arbeiten, können wir ja nicht sagen ob die Variable für eine positive oder negative Zahl steht, deshalb kann dieses weglassen der Klammer + Potenz als allgemeiner Rechenschritt nicht zulässig sein.
#6 Firithfenion am 4. April 2012 um 21:58
Es gibt auch andere Fälle, in denen ein mathematischer Term (selbst wenn er eine Variable enthält) sicher positiv ist – beispielsweise eine Exponentialfunktion. Ist das nicht der Fall, dann muß man freilich davon Abstand nehmen.
Trotzdem finde ich nach erneutem Nachdenken, das mein anfängliches Stutzen über Schritt 4 doch nicht ganz unberechtigt war. Formal ist das Anwenden der binomischen Formel zwar nicht falsch, aber meiner Meinung nach war es überflüssig den Term mittels der binomischen Formel ins Quadrat zu erheben. Wozu benötigt man eine Umformung mittels binomischer Formel? Doch nur dazu, das der umgeformte Ausdruck anschliessend mit dem Ursprungsausdruck wertidentisch ist. Das ist aber bei einer Äquivalenzumformung nicht notwendig. Wenn ich beispielsweise eine Zahl zu beiden Seiten einer Gleichung addiere, dann ist zwar die Gleichung erhalten, aber die beiden neuen Terme sind selbstverständlich nicht mehr mit den Termen identisch, aus denen sie hervorgegangen sind.
Worauf ich hinaus will: Für eine Äquivalenzumformung einer Gleichung ins Quadrat hätte man meiner Meinung nach die binomische Formel gar nicht benötigt. Wenn zwei Terme identisch sind, sollte auch ihr Quadrat identisch sein. Man hätte also einfach die Terme so wie sie sind jeweils in Klammern packen und diesen Ausdruck hoch 2 nehmen können. Ein Vorzeichenproblem wie im umgekehrten Falle kann dabei nicht entstehen, denn wir hatten ja – bevor wir die Ausdrücke in die Potenz erhoben – festgestellt das beide Terme gleich sind, was auch ein gleiches Vorzeichen garantiert.
Die überflüssige (aber für die kleine Täuschung notwendige) Herbeibemühung der binomischen Formel führte dazu, das die Terme, die vorher nicht nur äquivalent, sondern bis zu Schritt 3 auc h Vorzeichenidentisch waren, plötzlich innerhalb der Klammer unterschiedliche Vorzeichen ergaben und nur noch als Gesamtausdruck äquivalent waren. Das liegt daran, das die Subtrahenden nicht mehr identisch mit denen im vorhergehenden Term sind.
Das liegt daran, das die Subtrahenden nicht mehr identisch mit denen im vorhergehenden Term sind.
Was ich damit sagen will: Wenn wir uns die Zahlen als Variablen im Sinne einer binomischen Gleichung denken, dann wird in Schritt 3 vom Ausdruck a-quadrat der Ausdruck 2ab abgezogen, während im 5. Schritt von a-quadrat der Ausdruck b-quadrat abgezogen wird.
während im 5. Schritt von a-quadrat der Ausdruck b-quadrat abgezogen wird.
Das ist missverständlich ausgedrückt. Ich will sagen, das im 5. Schritt der im vorigen Schritt aus a-quadrat hervorgegangene Ausdruck von dem aus b-quadrat hervorgegangenen Ausdruck abgezogen wird. Zudem haben wir es hier auf der rechten Seite mit einem Sonderfall zu tun, nämlich das a-quadrat gleich 1 ist und 1 ist die einzige Zahl die beim quadrieren gleich bleibt, für die also gilt a-quadrat = a und die nicht wie alle anderen Zahlen harmonisch anwächst.
#8 Firithfenion am 5. April 2012 um 09:05
So ist es. Die vierte Zeile war zwar noch richtig, aber der Schritt, der zu ihr führte, war keine Äquivalenz-Umformung, weil der Exponent gerade und nicht ungerade war, und somit im Sinne der Auflösung einer Gleichung nicht lege artis.
Der Fehler selbst geschah dann erst im nächsten Schritt. Aber ich brauche das nicht weiter zu explizieren, denn ich sehe, du kennst dich aus.
Über die Just For Laughs Videos könnte ich mich immer wegkringeln….
Das wäre doch mal der richtige Streich für Onkel Kewil….
http://www.youtube.com/watch?v=d8wzviTDuMg
oder auch so:
http://www.youtube.com/watch?v=uXIeq-_w040
Auf einer Konsumgütermesse im Ostblock besuchten Honecker und Breschnew 1976 die Stände. Sehr aktuell waren die neumodischen Kuckucksuhren. Der polnische Stand zeigte einen Kuckuck, der aus seinem Häuschen kam und Kuckuck rief. Der Kuckuck aus dem DDR-Kuckuckshäuschen schnellte hervor und rief ergebenst: "Lenin, Lenin". Das Kuckuckshäuschen der Tschechoslowakei war so beeindruckend, dass es den hohen Staatsgästen die Sprache verschlug. Aus dem Haüschen kam ein Lenin und der rief: "Kuckuck, Kuckuck".
auto, motor und sport berichtete vor einigen Jahren über ein denkwürdiges Ereignis. Der großartige Motorsportler Hans Joachim Stuck reiste zu einem Rennen nach Sizilien. Morgens erwachte er in seinem Hotelzimmer durch merkwürdige Geräusche. Er trat nackt auf den Balkon. Als er sah dass unter seinem Zimmer eine katholische Prozession sich durch die Strasse bewegte, fing er an zu jodeln. Der Eindruck den er erzielte sorgte für eine Auflösung dieses Umzugs. Ein nackter, jodelnder Bayer war eben zu viel für die meisten Teilnehmer. Sein Teamchef musste ihn dann aus dem Polizeigewahrsam freibekommen.
Ein witziges und bissiges Video der Clownunion:
"Die Unicef Sabine und Somalia, erklärt von Peter Zwegert"
Hier kann man mal sein "Listening comprehension" also, sein Verstehen der gehörten englischen Sprache in verschiedenen Dialekten überprüfen. Ich finde das Video witzig und ausserordentlich unterhaltsam und zugleich interessant. Der junge Mann hat zweifellos ein gewisses Talent. Ich schliesse mich der Meinung eines Kommenators an: "No joke, this was educational"
The English Language in 24 Accents
Zur humoristischen Auflockerung des ernsten Themas:
Tischgebet:
Bitte nicht bildlich vorstellen, sonst macht ihr euch vor Lachen in die Hose:
http://www.welt.de/vermischtes/article110887177/Pensionierter-Priester-beisst-Amtsbruder-Ohr-ab.html
Die Höhepunkte vom CDU-Parteitag, Angelika Merkel spricht (frei nach Titanic):
"…daß es gesunde, natürliche, gottgewollte Partnerschaften gibt und eklige, widernatürliche – zum Beispiel mit den Grünen!"
"…darf, wer mich wiederwählt, mit einer Extraportion Eis rechnen, sofern Peter Altmaier nicht bereits am Buffet… "
"…Nachfolgefrage auch gelöst: Ich bin schwanger!"
Nun wissen wir wann ungefähr Ramadan beginnt (ungefähr weil letztendlich Ramadan erst beginnt wenn der Vollmond gesichtet wird).
Zitat von http://www.planetislam.de/hijri-Kalender. Gut nur, dass heute der 20. Safar ist, eben weil der letzte Neumond 20 Tage her ist. Aber gut arabische Kommentare dahinter.
Neues Spiel, neues Glück = gleiche Webseite, Unterpunkt "Fatwas" über die Legalität von Löchern für Ohrringe (ist meist halal, nur bei einer Rechtsschule haram)
Yahya schrieb: Soweit ich weiss und es ist auch logisch ist es haram da es eine verletzung des körpers ist was uns untersagt ist da unser körper geliehen sind dazu zählen auch tattos ,pircimg und tattos sind quasie wie selbstverstümmelung wen man logisch denkt.
Ist Yahya noch Jungfrau? Sonst wüßte sie doch von anderen Verstümmelungen
Fundstück bei spiegel-online, Kommentar zu Fleischhauer über Political corr'
Der Begriff FRAU ist auch schon belastet (von wegen rückwärts einparken usw.). Ich warte darauf, dass es demnächst heißt: "Mensch mit Menstruationshintergrund".
#24 ilex (E. Ahrens) am 18. Januar 2013 um 00:36 @
Menschen sind vielfältig in ihrer Art und das ist gut so!……deswegen gibt es ja auch Literatur, sowohl gute, wie auch schlechte in ihrer Art.-……geschrieben ist es dennoch.
#24 ilex (E. Ahrens) am 18. Januar 2013 um 00:36
Das kann man ja beliebig weiterführen. Menschen, die vermittels in-vitro-Fertilisation gezeugt wurden, wären demnach "Menschen mit Masturbationshintergrund".
#26 Frank Berghaus am 18. Januar 2013 um 07:39
Menschen, die vermittels in-vitro-Fertilisation gezeugt wurden, wären demnach "Menschen mit Masturbationshintergrund".
Grüße von meiner Frau – sie findet diese Bemerkung überaus witzig.
#27 Argutus am 18. Januar 2013 um 14:25
Grüss sie bitte ganz lieb von mir zurück! Vielleicht schaffen wir es ja wieder einmal, uns zu sehen. Vielleicht anlässlich der kritischen Islamkonferenz in Wien?
Ohne Worte: http://www.welt.de/kultur/article113359419/Wenn-Blondinen-mit-Dirndl-Figur-den-Koran-zitieren.html
In einem Schüleraufsatz war zu lesen: Der Papst wurde von hunderttausend Gläubigern empfangen.
Das habe ich von Frank auf Facebook gestibitzt: