Spielen mit Primzahlen

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abacus-1812836_1280Primzahlen und Pi sind der Mathematiker liebstes Kind. Es muss ungeheuer viel Spaß machen, sich damit zu beschäftigen, zumindest wenn man mathematisch infiziert ist. Für die beiden könnte man ein eigenes Pedia aufmachen, sozusagen ein Pripipedia.

Da könnten sich die Experten über diesbezügliche Rechenkünste austauschen (Bild: barescar90, pixabay).

Für Pi errechnete man 2006 erst 100.000 Nachkommastellen, 2014 waren es schon über 12 Billionen. Bei den Primzahlen ist es bald noch schlimmer. Alle Jahre wieder wird ein neuer Spitzenreiter gefunden, der noch größer, schneller, weiter ist (3. und wb-Link Primzahl. Stand Januar 2018 ist die Rekordprimzahl 277.232.917 -1, eine Zahl mit 23.249.425 Dezimalstellen).

Derzeit sind sogar die benachbarten Zahlen unter mathematischem Beschuss. Denen gilt ein kurioser Beweis, der nun in der Zeit publiziert wurde (1.). Die Behauptung lautet, alle Primzahlen p größer als 3 ergeben quadriert ein Ergebnis, das Modulo 24 immer Rest 1 ergibt: p2 mod 24 = 1. Beispiel für p=17: 172 mod 24 = 1 (289=12*24+1).

Der Beweis dafür wird in dem Zeit-Artikel nur halb geführt:

  • p-1 und p+1 müssen gerade sein, weil p immer ungerade ist (Primzahlen können nicht durch 2 teilbar sein),
  • p-1 oder p+1 müssen durch 3 teilbar sein, weil p es nicht sein kann (Primzahlen können nicht durch 3 teilbar sein),
  • entweder p-1 oder p+1 sind daher durch 2 und 3, und somit auch durch 2*3=6 teilbar,
  • p lässt sich also ausdrücken entweder als n*6+1 oder als n*6-1 mit n>0,
  • und solche Zahlen zum Quadrat sind immer mit Rest 1 durch 24 teilbar.

Warum das so ist, wird hier ergänzt:

(n*6+1)2 = n2*62 + 2*n*6 + 1 = n2*(24+12) + n*12 +1 = n2*24 + n2*12 + n*12 + 1

Man sieht, es ist durch 24 teilbar mit Rest 1, denn n2*24 ist durch 24 teilbar und ebenso (n2*12 + n*12) = 12*(n+1)*n. Entweder ist n+1 gerade oder n. In beiden Fällen steckt also der Faktor 2 drin, und 2*12 = 24. Entsprechendes gilt für (n*6-1)2. Dann wird nur der mittlere Term negativ und man kommt auf 12*(n-1)*n, was auch immer durch 24 teilbar ist.

In den Zeit-Leserkommentaren weist jemand darauf hin, dass es den Beweis für n-1 schon lange gibt (2.). Ein anderer kluger Mensch merkt an, dass die bewiesene Aussage auch für alle natürlichen Zahlen gilt, die weder durch 2 noch durch 3 teilbar sind. Das leuchtet unmittelbar ein.

Nicht gar so naheliegend ist die Aussage eines ausgepichten Mathematikers, die die Behauptung als cleveren Einsatz vom kleinen Satz von Fermat mit den chinesischen Restesatz sieht, bei dem Trick handele es sich nur um ein umständliches gruppentheoretisches Sieb von Eratosthenes. Das Ganze lasse sich auf beliebige Potenzen erweitern, so gelte auch für alle Primzahlen p:

  • p4 mod 240 = 1 mit p>5abacus-7935_1280
  • p12 mod 5040 = 1 mit p>7
  • p60 mod 3603600 = 1 mit p>13

Die Begeisterung der Fachleute hielt sich also in Grenzen ("netter Trick"). Für Laien ist es immerhin ein interessantes Problem zu stemmen. Ach ja, was mit dem schwergewichtigen Instrument auf dem Bild oben eigentlich gemeint ist, zeigt dies Bild (Hans, pixabay).

Das ist nicht ganz die aktuelle Rechenpower, aber es ist immerhin Handarbeit. Und Kopfarbeit, und das passt zum sogenannten Pi-Sport, bei dem kopflastige Menschen die Kommastellen der Kreiszahl Pi auswendig hersagen. Der Rekord liegt bei 70.000 Stellen in 10 std.

Dazu fällt einem nur noch ein Mathematikerwitz ein: Die sind zu 50% plemplem, zu 75% ballaballa und der Rest ist gaga. Das wären über 100%? Da sieht man mal, wie gaga die sind.

 

Medien-Links:

  1. Dieser Stand-up-Mathematiker bringt Ordnung in die Primzahlen (Zeit Online 27.11., 14 Kommentare): Auf den ersten Blick ist es verblüffend: Quadriert man eine Primzahl, dann ist das Ergebnis immer mit Rest 1 durch 24 teilbar. Einzige Voraussetzung: Die Zahl muss größer oder gleich 5 sein …
  2. Primzahlen, Teilbarkeit und die Zahl 24 (Werner Brefeld 2005). Hier geht es nur um die Zahl Prim2-1.
  3. Mathematik – Hobby-Mathematiker findet bislang größte Primzahl (Süddeutsche Zeitung 5.1.): Die neue entdeckte Primzahl ist mehr als 23 Millionen Ziffern lang. Sechs Tage lang benötigte ein Computer eines Hobby-Mathematikers, um sie zu finden.

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Eine Antwort auf Spielen mit Primzahlen

  1. Wolfgang Goethe sagt:

    Sowas können nur Superhirne, da kann man nur den Hut ziehen, wenn ich die Zahlen schon sehe, wirds mir Schwindelig. Damals in der Berufsschule (Kfz) mussten wir den Zylinder und die Füllmenge berechnen mit r x pi x 3,14 usw., das hat mir schon gereicht.

    JWG

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