Verblüffende Widersprüche

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optical-illusion-1301351_1280Ein Paradoxon (auch Paradoxie; Plural: Paradoxa oder Paradoxien; von altgriechisch παράδοξον, von παρα, para, „gegen“, und δόξα, dóxa, „Meinung, Ansicht“) ist ein scheinbar oder tatsächlich unauflösbarer, unerwarteter Widerspruch.

Barbier-Paradoxon*

Russell formulierte 1918 das Barbier-Paradoxon mit folgenden Worten: "Man kann einen Barbier definieren als einen, der alle diejenigen und nur diejenigen, die sich nicht selbst rasieren, rasiert. Die Frage ist: Rasiert der Barbier sich selbst?"

Beim Versuch, die Frage zu beantworten, ergibt sich ein Widerspruch. Denn angenommen der Barbier rasiert sich selbst, dann gehört er zu denen, die er laut Definition nicht rasiert, was der Annahme widerspricht. Angenommen es gilt das Gegenteil und der Barbier rasiert sich nicht selbst, dann erfüllt er selbst die Eigenschaft derer, die er rasiert, entgegen der Annahme.

Hempels Paradox*

Hempels Paradox oder Rabenparadox ist ein nach dem Philosophen Carl Gustav Hempel benanntes Problem der Erkenntnistheorie. Das Paradoxon besteht darin, dass eine Allaussage über die Eigenschaft bestimmter Objekte scheinbar durch Beobachtungen beliebiger anderer Objekte ohne diese Eigenschaft bestätigt werden kann. Nach Hempel könnte z. B. die Gültigkeit der Aussage Alle Raben sind schwarz durch die Beobachtung eines weißen Schuhs bestätigt werden, was kontraintuitiv ist.

Nach Beobachtung vieler Raben, die alle schwarz sind, besteht prima facie plausiblerweise eine hinreichende Rechtfertigung für die induktive Hypothesenbildung: "Alle Raben sind schwarz". Jeder zusätzliche schwarze Rabe, den ich sehe, bestätigt diese Hypothese weiter. Natürlich wäre es irrational, die Hypothese für gewiss zu halten, da keine vollständige Induktion über alle Raben aus Beobachtung möglich ist.

Was ist nun aber, wenn ich ein nicht-schwarzes Objekt sehe, das kein Rabe ist, z. B. ein gelbes Auto? Die vorbenannte Hypothese kann unter Erhalt ihres Wahrheitswertes durch Anwendung logischer Transformationsregeln umformuliert werden zu "Alle nicht-schwarzen Objekte sind keine Raben". Die so formulierte Hypothese scheint durch das gelbe Auto bestätigt zu werden. Da diese Hypothese logisch äquivalent zur Ausgangshypothese ist, wird somit scheinbar durch gelbe Autos die Hypothese "Alle Raben sind schwarz" bestätigt.

Grelling-Nelson-Antinomie*

Die Grelling-Nelson-Antinomie ist ein semantisches Paradoxon, das 1908 von Kurt Grelling und Leonard Nelson formuliert wurde.

Grelling und Nelson gehen bei der Bildung ihrer Antinomie davon aus, dass jede Klasse durch ein Merkmal definiert ist, das ein Wort bezeichnet. Zum Beispiel bezeichnet das Wort „einsilbig“ das Merkmal der Klasse aller einsilbigen Wörter. Sie zerlegen dann die Wörter in zwei Klassen, die folgendermaßen definiert sind:

Ein autologisches Wort besitzt selbst das Merkmal, das es bezeichnet, ein heterologisches Wort dagegen nicht. Die Wörter „deutsch“ oder „dreisilbig“ sind autologisch, denn „deutsch“ ist ein deutsches Wort und „dreisilbig“ ein dreisilbiges Wort. Die meisten Wörter sind aber heterologisch, zum Beispiel „englisch“ und „einsilbig“, denn „englisch“ ist kein englisches Wort und „einsilbig“ kein einsilbiges Wort. Dagegen scheitert der Versuch, das Wort „heterologisch“ in diese beiden Klassen einzuordnen, an einem Widerspruch:

Angenommen „heterologisch“ ist ein autologisches Wort, dann ist es laut Definition ein heterologisches Wort im Widerspruch zur Annahme. Angenommen es trifft das Gegenteil zu und „heterologisch“ ist ein heterologisches Wort, dann ist es laut Definition kein heterologisches Wort, also ist es autologisch im Widerspruch zur Annahme.

Paradoxon der unerwarteten Hinrichtung*

Das Paradoxon der unerwarteten Hinrichtung, (auch bekannt als Paradoxon der unerwarteten Prüfung oder Henker-Paradoxon) ist ein erkenntnistheoretisches Paradoxon bei dem eine Antinomie aufzutreten scheint, indem etwas unerwartetes erwartet wird.

Ein Gefangener wird dazu verurteilt, im Laufe einer Woche (Mo-So) hingerichtet zu werden. Hinrichtungen finden immer genau zur Mittagszeit statt. Ihm wird der Tag der Hinrichtung nicht mitgeteilt, um ihn in banger Erwartung zu halten, ihm wird gesagt, der Termin wäre für ihn völlig unerwartet. Er überlegt jedoch: Überlebe ich am vorletzten Tag der Woche den Mittag, so muss ich am letzten Tag Mittags hingerichtet werden, das wäre dann aber nicht unerwartet. Also kann der letztmögliche Termin ausgeschlossen werden. Lebe ich am Mittag vor dem vorletzten Termin noch, könnte die Hinrichtung für den letzten oder vorletzten Termin angesetzt sein, den Letzten habe ich aber bereits ausgeschlossen, es bleibt also nur der Vorletzte; das wäre jedoch dann nicht unerwartet. Und so weiter: Lebe ich am Mittag vor dem zweitletzten Termin noch, … – ich kann also überhaupt nicht hingerichtet werden" Gerade diese Schlussfolgerung führt dazu, dass es für ihn völlig unerwartet ist, als man ihn an einem der Tage zum Richtblock führt.

Berry-Paradoxon*

Das Berry-Paradoxon ist ein selbstreferenzierendes Paradoxon, das sich aus dem Ausdruck „die kleinste ganze Zahl, die nicht durch eine gegebene Anzahl von Wörtern definierbar ist“ ergibt. Bertrand Russell, der sich 1908 als erster schriftlich mit dem Paradoxon auseinandersetzte, ordnete es G. G. Berry (1867–1928) zu, einem Bibliothekar der Bodleian Library Oxfords.

Gegeben sei der Ausdruck: „Die kleinste positive ganze Zahl, die nicht mit unter vierzehn Worten definierbar ist.“

Da es endlich viele Wörter gibt, gibt es auch endlich viele Sätze aus 14 Wörtern, und daher endlich viele positive ganze Zahlen, die nach dem Schubfachprinzip durch Sätze von unter 14 Wörtern definiert werden können. Weil es unendlich viele positive ganze Zahlen gibt, muss es positive ganze Zahlen geben, die nicht mit einem Satz von unter 14 Wörtern definiert werden können – nämlich jene, die die Eigenschaft haben, „nicht mit weniger als 14 Wörtern definiert werden zu können“. Nach dem Wohlordnungssatz muss es in der Menge der diese Eigenschaft erfüllenden Zahlen eine kleinste geben; demzufolge gibt es eine kleinste positive ganze Zahl mit der Eigenschaft „nicht definierbar in unter 14 Wörtern“. Dies ist die Ganzzahl, auf die sich der obige Ausdruck bezieht; das bedeutet, diese Ganzzahl wird durch den obigen Ausdruck definiert.

Der gegebene Ausdruck ist aber nur 13 Wörter lang; diese Ganzzahl wird also definiert mit unter 14 Wörtern. Also ist sie definierbar mit weniger als 14 Wörtern und demzufolge nicht die kleinste positive ganze Zahl, die nicht mit weniger als 14 Wörtern definiert werden kann, und wird daher letztendlich nicht durch diesen Ausdruck definiert. Dies ist ein Paradoxon: Es muss eine Ganzzahl geben, die mit diesem Ausdruck definiert wird, aber da der Ausdruck widersprüchlich ist (jede Ganzzahl, die es definiert, ist offensichtlich definierbar mit unter 14 Wörtern), kann es keine Ganzzahl geben, die er definiert.

Banach-Tarski-Paradoxon*

Das Banach-Tarski-Paradoxon oder auch Satz von Banach und Tarski ist eine Aussage der Mathematik, die demonstriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern lässt. Danach kann man eine Kugel derart zerlegen, dass sich ihre Teile wieder zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen lassen, von denen jede denselben Durchmesser hat wie die ursprüngliche. Das Volumen verdoppelt sich, ohne dass anschaulich ersichtlich ist, wie durch diesen Vorgang Volumen aus dem Nichts entstehen können sollte. Dieses Paradoxon demonstriert, dass das mathematische Modell des Raumes als Punktmenge in der Mathematik Aspekte hat, die sich in der physischen Realität nicht wiederfinden.

Die polnischen Mathematiker Stefan Banach und Alfred Tarski führten 1924 einen mathematischen Existenzbeweis und zeigten, dass im Fall der Kugel eine Zerlegung in nur sechs Teile ausreichend sei. Unmöglich hingegen ist ein konstruktiver Beweis im Sinne einer Handlungsanweisung, wie eine Kugel tatsächlich in sechs Teile zu zerschneiden ist, um diese in zwei Kugeln gleichen Volumens zusammensetzen zu können.

Großvaterparadoxon*

Das Großvater-Paradoxon ist das am häufigsten verwendete Beispiel, um Probleme mit der Kausalität bei Zeitreisen zu illustrieren. Es handelt sich dabei um folgendes Szenario: Jemand, der über die Möglichkeit der Zeitreise verfügt, reist zurück in die Vergangenheit vor der Zeugung seines Vaters und tötet dort seinen Großvater. Das Paradoxon in dieser Situation entsteht durch die Tatsache, dass der Zeitreisende ohne die Existenz seines Vaters, der nun wegen des Todes des Großvaters nicht geboren wird, selbst nicht geboren werden kann und folglich auch nicht hätte in der Zeit zurückreisen können, um seinen eigenen Großvater zu töten. Das Paradoxon zeigt somit, dass die Probleme, die sich durch die Veränderungen, die das Auftauchen des Zeitreisenden zwangsläufig mit sich bringen muss, ergeben, weder vernachlässigbar, noch in jedem Fall korrigierbar sind. Entsprechend muss eine wirklich realisierte Zeitreise diesen Widerspruch in irgendeiner Form vermeiden.

Psychologische Paradoxien

Dazu gehört die sogenannte „Sei-spontan-Paradoxie“, wie es häufig in Beziehungen zum Ausdruck kommt: Die Erwartung, dass mein Gegenüber seine Entscheidungen gefälligst frei und selbständig treffen soll – und genau damit seine Unselbständigkeit unter Beweis stellen würde. Der Wunsch „Sag mir doch öfter mal spontan, dass du mich liebst!“ ist, sobald ausgesprochen, nicht mehr erfüllbar. („Ich liebe dich“ – „Das sagst du jetzt nur wegen meiner Bitte neulich!“).

Ein weiteres Beispiel für psychologische Paradoxien sind die sogenannten „gemischten Botschaften“, wenn zwischen dem was gesagt wird und der Art wie es gesagt wird, ein Widerspruch besteht. Beispiel: die „angebaggerte“ Frau, die „Nein“ sagt, dabei aber freundlich lächelt.

Paradoxien in der Populärkultur

Im Monty-Python-Film "Das Leben des Brian" findet sich folgendes Paradoxon: Brian wird, zu seinem Unwillen, von einer wachsenden Menschenmenge für den Messias gehalten. Um sie von diesem Glauben abzubringen, hält er eine kleine Ansprache:

Brian: Ihr habt das ganz falsch verstanden. Ihr braucht mir nicht zu folgen. Ihr braucht niemandem zu folgen! Ihr müsst selber denken! Ihr seid lauter Individuen.
Die Menge (einstimmig): Ja, wir sind lauter Individuen!
Brian: Ihr seid alle verschieden.
Die Menge (einstimmig): Ja, wir sind alle verschieden!
Worauf aus der Menge eine einzelne Stimme sagt: Ich nicht.

 

Quellennachweis: Exzerpt des Wikipedia-Artikels Paradoxon sowie der dort verlinkten Artikel, deren Titel mit den Überschriften identisch sind, die hier mit * gekennzeichnet wurden. Die Auflösungen der Widersprüche sind den Artikeln selbst zu entnehmen. Das Bild ist von PeteLinforth, pixabay.

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13 Antworten auf Verblüffende Widersprüche

  1. Argutus sagt:

    Zwei weitere sehr  berühmte Paradoxa, die Russellsche Antinomie und das Olberssche Paradoxon, wurden hier weggelassen, weil sie bereits in einem früheren Artikel (Die Gottes-Antinomien) behandelt wurden.

    Letzteres möchte ich hier noch etwas ergänzen. Die Grundidee war, daß in einem unendlich großen und unendlich alten gleichmäßig mit Sternen angefüllten Universum (wie man es sich 1826, als das Paradoxon entdeckt wurde, weitgehend vorstellte) der Himmel Tag und Nacht überall so hell sein müßte wie die Sonnenscheibe, weil ja in jeder Blickrichtung in irgendeiner Entfernung ein Stern stehen muß von dem das Licht bereits Zeit genug hatte bis zur Erde zu kommen.

    Aus heutiger Sicht ließe sich das Paradoxon sogar noch verstärken, denn ein solches Universum müßte aus physikalischen Gründen im thermischen Gleichgewicht sein. Somit hätte auch die Erde die Temperatur der Sonnen-Oberfläche (etwa 6000 Grad) und wäre längst verdampft bzw. gar nicht erst entstanden.

  2. ilex (E. Ahrens) sagt:

    Wobei das Titelbild das "Paradoxon" schon drastisch darstellt. Ein Meister von Zeichnungen dieser Art wie Escher veranlaßt stets zu längerer Grübelei.

  3. Firithfenion sagt:

    Paradoxien in der Populärkultur
     
    Ein schönes Paradox finden wir in "Zurück in die Zukunft". Ich nenne es das "Marty McFly – Chuck Berry Paradox". Marty McFly spielt auf dem Schulball, auf dem sich seine Eltern kennen lernen sollen, den Titel "Jonny B. Goode" von Chuck Berry (der diesen aber zu dem Zeitpunkt noch nicht geschrieben hat) Das Publikum ist begeistert denn die Zeit ist reif für diesen Song! Einer der Musiker ist offenbar mit Chuck Berry bekannt oder verwandt, Aufgeregt eilt er hinter der Bühne ans Telefon, ruft Chuck Berry an mit den Worten: "Chuck du bist doch auf der Suche nach einem neuen Sound?! Hör dir doch das mal an!!" Daraufhin hält er den Hörer hoch, so das Chuck Berry am Telefon den Song mithören kann, den Marty Mc Fly spielt. Folgt man der Logik des Films, dann hätte Chuck Berry diesen Song gewissermassen nur geklaut! Aber wer hat dann eigentlich "Jonny B. Goode" komponiert?? Marty Mc Fly sicher nicht, für diesen ist es ein Oldie den er aus dem Radio oder von Schallplatten kennt und den er nur nachspielt. Chuck Berry hat sich diesen Song aber ebenfalls nicht selber ausgedacht, sondern er hat ihn nur von Marty Mc Fly gehört und danach niedergeschrieben…!? Also wer erfand das Lied eigentlich??
    http://www.youtube.com/watch?v=pb3-5iy_DDM

  4. Firithfenion sagt:

    Ein weiteres schönes Paradox steckt in der Neuverfilmung "The Time Machine" von 2002. Es ist gewissermassen eine positive Umkehrung des Großvater Paradox, denn es geht nicht darum, jemand zu töten, sondern im Gegenteil das Leben einer Person zu retten.
     
    In dieser Filmversion gibt es eine interessante Vorgeschichte. Der Erfinder beschäftigt sich theoretisch mit der Möglichkeit einer Zeitmaschine, ist aber unschlüssig ob man eine solche überhaupt bauen sollte oder ob man damit nicht zu weit geht. Eines Tages geschieht etwas furchtbares. Im Park will er seiner Geliebten einen wertvollen Verlobungsring schenken. Dabei werden sie von einem Verbrecher beobachtet der die beiden überfällt, während des Handgemenges fällt ein Schuss, der die Verlobte des Erfinders tötet. Der Mörder kann flüchten. Dies ändert schlagartig alles. Der Erfinder ist nun besessen vom Bau einer Zeitmaschine um damit in die Vergangenheit zurück zu kehren und den Mord verhindern zu können. Als die Maschine fertiggestellt ist, kehrt er in die Vergangenheit zurück, muss aber feststellen das er den Tod seiner Verlobten doch nicht verhindern kann, woraufhin er verbittert und enttäuscht in die Zukunft reist.
     
    Persönlich tat es mir leid das der Erfinder den Tod seiner Freundin nicht verhindern konnte. Dann stellte ich aber fest das dies auch irgendwie logisch ist. Hätte er den Tod seiner Freundin tatsächlich verhindern können, dann hätte ein klassisches Paradox vorgelegen. Überlegen wir mal. Der Erfinder hatte die Zeitmaschine primär zu dem Zweck erfunden, seine Freundin vor der Ermordung zu retten. Wäre es ihm gelungen, dann hätte er ja anschliessend gar keinen Grund mehr gehabt die Zeitmaschine zu bauen! Das heisst, dann wäre die Zeitmaschine, mit der er in die Vergangenheit gereist ist, gar nicht gebaut worden!

  5. Indianerjones sagt:

    Möglicherweise ist das Paradoxum unbedingt notwendig bei Zeitreisen, kann man da nicht auch davon ausgehen, das es dies schon unablässig gibt, immer wieder hin und her in der Zeit und es wird geändert und geändert, Ergebnisorientiert und nicht Erklärungsorientiert, so das Alle was davon haben, für den Einen zum Guten, für den Anderen wiederum zum schlechten….[..] gleichbleibend für Niemand. :nerd:
    Da bald Sylvester ist, man stelle sich vor der Familienvater ist auf Geschäftsreise in Australien und ruft aus Australien um 1 Uhr an, ruft ins Telefon, Schatz tut mir leid das ich so spät anrufe aber hier war zum Jahreswechsel derart viel los ich kam zu gar nicht….Gutes Neues Jahr meine Lieben, der kleine Maxl im Hintergrund hört das und sagt…..Mama hatt der Papa seine Uhr vergessen als er auf Reisen ging…..[..]

  6. Rechtspopulist sagt:

     "Alle nicht-schwarzen Objekte sind keine Raben".
    Es gibt aber auch schwarze Objekte, die keine Raben sind.
    Daher lässt sich ausgehend von der Eigenschaft "schwarz" oder "nicht-schwarz" gar nichts schließen. 
    Ein Paradoxon fällt mir noch ein, das Lügner-Paradoxon: Da kommt ein Mann aus Kreta und sagt: "Aller Kreter lügen". :-)

  7. Argutus sagt:

    #6 Rechtspopulist am 7. Dezember 2011 um 12:35

    Ein Paradoxon fällt mir noch ein, das Lügner-Paradoxon: Da kommt ein Mann aus Kreta und sagt: "Alle Kreter lügen".

    Der verlinkte Wikipedia-Artikel enthält noch viele weitere Paradoxien, darunter auch dieses.

  8. Argutus sagt:

    #5 Indianerjones am 7. Dezember 2011 um 12:35

    Möglicherweise ist das Paradoxum unbedingt notwendig bei Zeitreisen

    Denknotwendig ist das nicht. Es könnte ja Naturgesetze geben, die Zeitrreisen möglich machen, aber alles verhindern, was zu einem Paradoxon führen würde.

    Weiteres siehe hier: Zeitreisen aus der Sicht eines Physikers.

  9. pinetop sagt:

    Und jetzt lüge ich

  10. Frank Berghaus sagt:

    #9 pinetop am 7. Dezember 2011 um 12:45

    Das hatten wir auch nicht anders erwartet :-)

  11. Firithfenion sagt:

    #6 Rechtspopulist am 7. Dezember 2011 um 12:35
    Ein Paradoxon fällt mir noch ein, das Lügner-Paradoxon: Da kommt ein Mann aus Kreta und sagt: "Aller Kreter lügen".
     
    Als Logik-Aufgabe sind solche Problemstellungen sicher ganz interessant. Sie kranken aber an ihrem Formalismus und ihrer Weltfremdheit. Denkt man darüber nach, dann stellt sich heraus dass das scheinbare Paradox nur dadurch entsteht, das man von unrealistischen Grundannahmen ausgeht. In diesem Falle ist es die korrekte Definition eines Lügners. Was ist ein Lügner? In Logik Aufgaben ist es einfach. Dort ist ein Lügner jemand, der stets das Gegenteil der Wahrheit sagt. Eine solche Definition ist aber völlig unrealistisch und Wirklichkeitsfremd. Gäbe es einen solchen Menschen, wäre er schnell als Lügner entlarvt und anschliessend ebensogut wie ein Wahrheitssprecher denn man bräuchte seine Aussagen nur umzukehren. Die Wirklichkeit ist aber nicht binär. Auch ein aufrichtiger Mensch lügt gelegentlich und auch ein Lügner wird gelegentlich die Wahrheit sagen, schon deshalb, um seine späteren Lügen glaubwürdiger erscheinen zu lassen. Man könnte vielleicht sagen das ein aufrichtiger Mensch nur aus Höflichkeit lügt oder um jemanden damit zu helfen oder zu schützen. Ein Lügner hingegen lügt aus niederigen Motiven um sich Vorteile zu verschaffen, in Fällen in denen eine Lüge ihm keinen ersichtlichen Nutzen bringt, wird er vermutlich dazu tendieren, die Wahrheit zu sagen um sich den Nimbus eines Wahrheitssprechers anzueignen.

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