® Verblüffende Widersprüche

image_pdfimage_print

optical-illusion-1301351_1280

Zum Paradoxon sagt das gelehrte wiki, dass es auch ein Paradox oder eine Paradoxie sein kann. Wenn's mehrere sind, heißen sie Paradoxa oder Paradoxien. Die edle Abstammung reicht zurück zum altgriechischen παράδοξον, von παρα, para, „gegen“, und δόξα, dóxa, „Meinung, Ansicht“.

Und das Ganze ist ein scheinbar oder tatsächlich unauflösbarer, unerwarteter Widerspruch (Bild: PeteLinforth, pixabay).

Barbier-Paradoxon

Dieses Paradoxon wurde 1903 als Russellsche Antinomie publiziert und 1918 als Barbier-Paradoxon formuliert. Der Wortlaut: "Man kann einen Barbier definieren als einen, der alle diejenigen und nur diejenigen, die sich nicht selbst rasieren, rasiert. Die Frage ist: Rasiert der Barbier sich selbst?"

Wer die Frage zu beantworten versucht, stößt auf einen Widerspruch.

  • Wenn der Barbier sich selbst rasiert, gehört er zu denen, die er laut Definition nicht rasiert, was der Annahme widerspricht.
  • Wenn das Gegenteil gilt, und der Barbier rasiert sich nicht selbst, dann erfüllt er selbst die Eigenschaft derer, die er rasiert, entgegen der Annahme.

Dazu Russels Lösung bei wiki.

Hempels Paradox

Hempels Paradox ist nach dem Philosophen Carl Gustav Hempel benannt. Es wird auch Rabenparadox genannt und ist ein Problem der Erkenntnistheorie. Das Paradoxon besteht nach wiki darin, dass eine Allaussage über die Eigenschaft bestimmter Objekte scheinbar durch Beobachtungen beliebiger anderer Objekte ohne diese Eigenschaft bestätigt werden kann. Beispielsweise könnte die Gültigkeit der Aussage „Alle Raben sind schwarz“ durch die Beobachtung eines weißen Schuhs bestätigt werden, was natürlich kontraintuitiv ist.

Nach Beobachtung vieler Raben, die alle schwarz sind, besteht plausiblerweise eine hinreichende Rechtfertigung für die Bildung einer induktiven Hypothese in der Form „Alle Raben sind schwarz“. Jeder zusätzlich beobachtete schwarze Rabe bestätigt diese Hypothese weiter. Es wäre allerdings irrational, die Hypothese für gewiss zu halten, da keine vollständige Induktion über alle Raben aus Beobachtung möglich ist.

Aber was folgert aus der Beobachtung von einem nicht-schwarzen Objekt, das kein Rabe ist, z. B. einem weißen Schuh? Die Hypothese lässt sich unter Erhalt ihres Wahrheitswertes durch logische Transformationsregeln umformulieren zu „Alle nicht-schwarzen Objekte sind keine Raben“. Die damit formulierte Hypothese scheint durch den weißen Schuh bestätigt zu werden. Die neue Hypothese ist logisch äquivalent zur Ausgangshypothese („Aus A folgt B“ ist äquivalent zur Kontraposition „Aus nicht B folgt nicht A“). Somit wird scheinbar durch weiße Schuhe die Hypothese "Alle Raben sind schwarz" bestätigt.

Die Auflösungsversuche bei wiki.

Grelling-Nelson-Antinomie

Die Grelling-Nelson-Antinomie ist nach wiki ein semantisches selbstbezügliches Paradoxon, das 1908 von Kurt Grelling und Leonard Nelson formuliert wurde.

Bei der Bildung ihrer Antinomie gehen Grelling und Nelson davon aus, dass jede Klasse durch ein Merkmal definiert ist, das durch ein Wort bezeichnet wird. Als Beispiel wird das Wort „einsilbig“ genannt, mit dem das Merkmal der Klasse aller einsilbigen Wörter bezeichnet wird. Grelling und Nelson zerlegen dann die Wörter in zwei Klassen, die sie folgendermaßen definieren:

  • Autologische Wörter besitzen selbst das Merkmal, das sie bezeichnen. Beispielsweise sind die Wörter „deutsch“ und „dreisilbig“ autologisch, denn „deutsch“ ist ein deutsches Wort und „dreisilbig“ ein dreisilbiges Wort.
  • Heterologische Wörter besitzen das Merkmal dagegen nicht, das sie bezeichnen. Die meisten Wörter sind heterologisch, beispielsweise „englisch“ und „einsilbig“, denn „englisch“ ist kein englisches Wort und „einsilbig“ kein einsilbiges Wort.

Der Versuch, das Wort „heterologisch“ in diese beiden Klassen einzuordnen, scheitert nun an einem Widerspruch:

  • Wäre „heterologisch“ ein autologisches Wort, dann wäre es laut Definition ein heterologisches Wort im Widerspruch zur Annahme.
  • Träfe das Gegenteil zu, und „heterologisch“ wäre ein heterologisches Wort, dann wäre es laut Definition kein heterologisches Wort, also wäre es autologisch im Widerspruch zur Annahme.

Die Lösungen bei wiki und ein Hinweis zur Unterhaltungslinguistik.

Paradoxon der unerwarteten Hinrichtung

Das Paradoxon der unerwarteten Hinrichtung ist auch bekannt als Paradoxon der unerwarteten Prüfung oder als Henker-Paradoxon. Es handelt sich um ein erkenntnistheoretisches Paradoxon, bei dem eine Antinomie aufzutreten scheint, weil etwas Unerwartetes erwartet wird. In der Formulierung als Henkerparadoxon:

Ein Gefangener wird verurteilt, innerhalb einer Woche hingerichtet zu werden. Hinrichtungen finden immer zur Mittagszeit statt. Dem Gefangenen wird der Tag der Hinrichtung nicht mitgeteilt, damit er in banger Erwartung gehalten wird. Ihm wird nur gesagt, der Termin käme völlig unerwartet für ihn. Der Gefangene stellt nun diese Überlegungen an:

Wenn ich am vorletzten Tag der Woche den Mittag überlebe, muss ich am letzten Tag mittags hingerichtet werden – das wäre aber nicht mehr unerwartet. Also kann ich den letztmöglichen Termin ausschließen.

Lebe ich am Mittag vor dem vorletzten Termin noch, müsste die Hinrichtung für den letzten oder vorletzten Termin angesetzt sein. Den Letzten habe ich aber bereits ausgeschlossen, es bleibt also nur der vorletzte – das wäre dann aber nicht mehr unerwartet.

Und so weiter: Lebe ich am Mittag vor dem zweitletzten Termin noch, …

Schlussfolgerung: Ich kann also überhaupt nicht hingerichtet werden. Und gerade diese Schlussfolgerung macht es für ihn völlig unerwartet, wenn man ihn an irgend einem der Tage zum Richtblock führt.

Dazu Analysen bei wiki.

Berry-Paradoxon

Das Berry-Paradoxon nennt sich nach wiki ein selbstreferenzierendes Paradoxon. Es ist beschrieben mit dem Ausdruck „die kleinste ganze Zahl, die nicht durch eine gegebene Anzahl von Wörtern definierbar ist.“  1908 setzte sich Bertrand Russell als erster schriftlich mit dem Paradoxon auseinander und ordnete es G. G. Berry (1867–1928) zu, einem Bibliothekar der Bodleian Library Oxfords.

Zur Beschreibung sei der Ausdruck gegeben: „Die kleinste positive ganze Zahl, die nicht mit unter vierzehn Worten definierbar ist.“

Es gibt endlich viele Wörter und daher auch endlich viele Sätze aus 14 Wörtern. Deshalb gibt es endlich viele positive ganze Zahlen, die nach dem Schubfachprinzip durch Sätze von unter 14 Wörtern definiert werden können.

Demgegenüber gibt es aber unendlich viele positive ganze Zahlen, so dass es positive ganze Zahlen geben muss, die nicht mit einem Satz von unter 14 Wörtern definiert werden können. Das sind jene mit der Eigenschaft, „nicht mit weniger als 14 Wörtern definiert werden zu können“. Nach dem Wohlordnungssatz muss es in der Menge der Zahlen mit dieser Eigenschaft eine kleinste geben. Demnach gibt es eine kleinste positive ganze Zahl mit der Eigenschaft „nicht definierbar in unter 14 Wörtern“. Dies ist die ganze Zahl, auf die sich der obige Ausdruck bezieht. Diese ganze Zahl wird also durch den obigen Ausdruck definiert.

Der Ausdruck ist aber nur 13 Wörter lang; diese ganze Zahl wird also mit unter14 Wörtern definiert. Demzufolge ist sie mit weniger als 14 Wörtern definierbar und mithin nicht die kleinste positive ganze Zahl, die nicht mit weniger als 14 Wörtern definiert werden kann. Sie wird also letztendlich nicht durch diesen Ausdruck definiert.

Dies ist nach wiki ein Paradoxon: Es muss eine ganze Zahl geben, die mit diesem Ausdruck definiert wird. Aber der Ausdruck ist widersprüchlich: Jede ganze Zahl, die er definiert, ist offensichtlich mit weniger als 14 Wörtern definierbar. Demnach kann es keine ganze Zahl geben, die er definiert.

Die Auflösung in wiki samt Formalen Analogien.

Banach-Tarski-Paradoxon

Das Banach-Tarski-Paradoxon oder auch Satz von Banach und Tarski ist eine Aussage der Mathematik, nach der sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern lässt. Demnach kann man eine Kugel derart zerlegen, dass sich ihre Teile wieder zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen lassen, von denen jede den selben Durchmesser hat wie die ursprüngliche Kugel. Das Volumen verdoppelt sich demnach, ohne dass anschaulich ersichtlich wäre, wie dabei Volumen aus dem Nichts entstehen könnte. Was dieses Paradoxon demonstriert, ist eigentlich, dass das mathematische Modell des Raumes als Punktmenge Aspekte hat, die sich in der physischen Realität nicht wiederfinden.

Nach wiki führten die polnischen Mathematiker Stefan Banach und Alfred Tarski führten 1924 einen mathematischen Existenzbeweis, mit dem sie  zeigten, dass im Fall der Kugel eine Zerlegung in nur sechs Teile ausreichend sei. Was nach wiki unmöglich ist, ist ein konstruktiver Beweis im Sinne einer Handlungsanweisung, wie eine Kugel tatsächlich in sechs Teile zu zerschneiden ist, um diese zu zwei Kugeln mit gleichem Volumen zusammensetzen zu können.

Die mathematische Formulierung in wiki samt Beweisskizze.

Großvaterparadoxon

Das Großvater-Paradoxon ist das am häufigsten verwendete Beispiel, um Probleme mit der Kausalität bei Zeitreisen zu illustrieren. Es handelt sich dabei um folgendes Szenario: Jemand, der über die Möglichkeit der Zeitreise verfügt, reist zurück in die Vergangenheit vor der Zeugung seines Vaters und tötet dort seinen Großvater. Das Paradoxon in dieser Situation entsteht durch die Tatsache, dass der Zeitreisende ohne die Existenz seines Vaters, der nun wegen des Todes des Großvaters nicht geboren wird, selbst nicht geboren werden kann und folglich auch nicht hätte in der Zeit zurückreisen können, um seinen eigenen Großvater zu töten. Das Paradoxon zeigt somit, dass die Probleme, die sich durch die Veränderungen, die das Auftauchen des Zeitreisenden zwangsläufig mit sich bringen muss, ergeben, weder vernachlässigbar, noch in jedem Fall korrigierbar sind. Entsprechend muss eine wirklich realisierte Zeitreise diesen Widerspruch in irgendeiner Form vermeiden.

Die Auflösungen bei wiki.

Psychologische Paradoxien

Nach wiki gehört die sogenannte „Sei-spontan-Paradoxie“ dazu, die häufig in Beziehungen zum Ausdruck kommt: Das heißt, vom Gegenüber wird erwartet, dass es seine Entscheidungen frei und selbständig treffen soll – und zugleich würde es damit seine Unselbständigkeit unter Beweis stellen. Als Beispiel ist der Wunsch „Sag mir doch spontan, dass du mich liebst!“, nicht mehr erfüllbar, sobald er ausgesprochen wurde. („Ich liebe dich.“ – „Das sagst du nur wegen meiner Bitte!“).

Die Formulierung in wiki.

Ein weiteres Beispiel für psychologische Paradoxien sind die sogenannten „gemischten Botschaften“, wenn zwischen dem was gesagt wird und der Art wie es gesagt wird, ein Widerspruch besteht. Beispiel: die „angebaggerte“ Frau, die „Nein“ sagt, dabei aber freundlich lächelt.

Die Formulierung bei Psychologie im Alltag.

Paradoxien in der Populärkultur

Im Monty-Python-Film "Das Leben des Brian" findet sich folgendes Paradoxon: Brian wird, zu seinem Unwillen, von einer wachsenden Menschenmenge für den Messias gehalten. Um sie von diesem Glauben abzubringen, hält er eine kleine Ansprache:

  • Brian: Ihr habt das ganz falsch verstanden. Ihr braucht mir nicht zu folgen. Ihr braucht niemandem zu folgen! Ihr müsst selber denken! Ihr seid lauter Individuen.
  • Die Menge (einstimmig): Ja, wir sind lauter Individuen!
  • Brian: Ihr seid alle verschieden.
  • Die Menge (einstimmig): Ja, wir sind alle verschieden!

Worauf aus der Menge eine einzelne Stimme sagt: Ich nicht.

Der Film in der Besprechung von wiki.

 

(Dieser Artikel wurde am 6.12.11 eingestellt und am 26.10.18 von Wilfried Müller überarbeitet und ergänzt.)

 Links von wissenbloggt zum Thema Paradoxa:

Mehr zum Thema:
Dieser Beitrag wurde unter Wissenschaft abgelegt und mit , , , verschlagwortet. Setze ein Lesezeichen auf den Permalink.

13 Antworten auf ® Verblüffende Widersprüche

  1. Argutus sagt:

    Zwei weitere sehr  berühmte Paradoxa, die Russellsche Antinomie und das Olberssche Paradoxon, wurden hier weggelassen, weil sie bereits in einem früheren Artikel (Die Gottes-Antinomien) behandelt wurden.

    Letzteres möchte ich hier noch etwas ergänzen. Die Grundidee war, daß in einem unendlich großen und unendlich alten gleichmäßig mit Sternen angefüllten Universum (wie man es sich 1826, als das Paradoxon entdeckt wurde, weitgehend vorstellte) der Himmel Tag und Nacht überall so hell sein müßte wie die Sonnenscheibe, weil ja in jeder Blickrichtung in irgendeiner Entfernung ein Stern stehen muß von dem das Licht bereits Zeit genug hatte bis zur Erde zu kommen.

    Aus heutiger Sicht ließe sich das Paradoxon sogar noch verstärken, denn ein solches Universum müßte aus physikalischen Gründen im thermischen Gleichgewicht sein. Somit hätte auch die Erde die Temperatur der Sonnen-Oberfläche (etwa 6000 Grad) und wäre längst verdampft bzw. gar nicht erst entstanden.

  2. ilex (E. Ahrens) sagt:

    Wobei das Titelbild das "Paradoxon" schon drastisch darstellt. Ein Meister von Zeichnungen dieser Art wie Escher veranlaßt stets zu längerer Grübelei.

  3. Firithfenion sagt:

    Paradoxien in der Populärkultur
     
    Ein schönes Paradox finden wir in "Zurück in die Zukunft". Ich nenne es das "Marty McFly – Chuck Berry Paradox". Marty McFly spielt auf dem Schulball, auf dem sich seine Eltern kennen lernen sollen, den Titel "Jonny B. Goode" von Chuck Berry (der diesen aber zu dem Zeitpunkt noch nicht geschrieben hat) Das Publikum ist begeistert denn die Zeit ist reif für diesen Song! Einer der Musiker ist offenbar mit Chuck Berry bekannt oder verwandt, Aufgeregt eilt er hinter der Bühne ans Telefon, ruft Chuck Berry an mit den Worten: "Chuck du bist doch auf der Suche nach einem neuen Sound?! Hör dir doch das mal an!!" Daraufhin hält er den Hörer hoch, so das Chuck Berry am Telefon den Song mithören kann, den Marty Mc Fly spielt. Folgt man der Logik des Films, dann hätte Chuck Berry diesen Song gewissermassen nur geklaut! Aber wer hat dann eigentlich "Jonny B. Goode" komponiert?? Marty Mc Fly sicher nicht, für diesen ist es ein Oldie den er aus dem Radio oder von Schallplatten kennt und den er nur nachspielt. Chuck Berry hat sich diesen Song aber ebenfalls nicht selber ausgedacht, sondern er hat ihn nur von Marty Mc Fly gehört und danach niedergeschrieben…!? Also wer erfand das Lied eigentlich??
    http://www.youtube.com/watch?v=pb3-5iy_DDM

  4. Firithfenion sagt:

    Ein weiteres schönes Paradox steckt in der Neuverfilmung "The Time Machine" von 2002. Es ist gewissermassen eine positive Umkehrung des Großvater Paradox, denn es geht nicht darum, jemand zu töten, sondern im Gegenteil das Leben einer Person zu retten.
     
    In dieser Filmversion gibt es eine interessante Vorgeschichte. Der Erfinder beschäftigt sich theoretisch mit der Möglichkeit einer Zeitmaschine, ist aber unschlüssig ob man eine solche überhaupt bauen sollte oder ob man damit nicht zu weit geht. Eines Tages geschieht etwas furchtbares. Im Park will er seiner Geliebten einen wertvollen Verlobungsring schenken. Dabei werden sie von einem Verbrecher beobachtet der die beiden überfällt, während des Handgemenges fällt ein Schuss, der die Verlobte des Erfinders tötet. Der Mörder kann flüchten. Dies ändert schlagartig alles. Der Erfinder ist nun besessen vom Bau einer Zeitmaschine um damit in die Vergangenheit zurück zu kehren und den Mord verhindern zu können. Als die Maschine fertiggestellt ist, kehrt er in die Vergangenheit zurück, muss aber feststellen das er den Tod seiner Verlobten doch nicht verhindern kann, woraufhin er verbittert und enttäuscht in die Zukunft reist.
     
    Persönlich tat es mir leid das der Erfinder den Tod seiner Freundin nicht verhindern konnte. Dann stellte ich aber fest das dies auch irgendwie logisch ist. Hätte er den Tod seiner Freundin tatsächlich verhindern können, dann hätte ein klassisches Paradox vorgelegen. Überlegen wir mal. Der Erfinder hatte die Zeitmaschine primär zu dem Zweck erfunden, seine Freundin vor der Ermordung zu retten. Wäre es ihm gelungen, dann hätte er ja anschliessend gar keinen Grund mehr gehabt die Zeitmaschine zu bauen! Das heisst, dann wäre die Zeitmaschine, mit der er in die Vergangenheit gereist ist, gar nicht gebaut worden!

  5. Indianerjones sagt:

    Möglicherweise ist das Paradoxum unbedingt notwendig bei Zeitreisen, kann man da nicht auch davon ausgehen, das es dies schon unablässig gibt, immer wieder hin und her in der Zeit und es wird geändert und geändert, Ergebnisorientiert und nicht Erklärungsorientiert, so das Alle was davon haben, für den Einen zum Guten, für den Anderen wiederum zum schlechten….[..] gleichbleibend für Niemand. :nerd:
    Da bald Sylvester ist, man stelle sich vor der Familienvater ist auf Geschäftsreise in Australien und ruft aus Australien um 1 Uhr an, ruft ins Telefon, Schatz tut mir leid das ich so spät anrufe aber hier war zum Jahreswechsel derart viel los ich kam zu gar nicht….Gutes Neues Jahr meine Lieben, der kleine Maxl im Hintergrund hört das und sagt…..Mama hatt der Papa seine Uhr vergessen als er auf Reisen ging…..[..]

  6. Rechtspopulist sagt:

     "Alle nicht-schwarzen Objekte sind keine Raben".
    Es gibt aber auch schwarze Objekte, die keine Raben sind.
    Daher lässt sich ausgehend von der Eigenschaft "schwarz" oder "nicht-schwarz" gar nichts schließen. 
    Ein Paradoxon fällt mir noch ein, das Lügner-Paradoxon: Da kommt ein Mann aus Kreta und sagt: "Aller Kreter lügen". :-)

  7. Argutus sagt:

    #6 Rechtspopulist am 7. Dezember 2011 um 12:35

    Ein Paradoxon fällt mir noch ein, das Lügner-Paradoxon: Da kommt ein Mann aus Kreta und sagt: "Alle Kreter lügen".

    Der verlinkte Wikipedia-Artikel enthält noch viele weitere Paradoxien, darunter auch dieses.

  8. Argutus sagt:

    #5 Indianerjones am 7. Dezember 2011 um 12:35

    Möglicherweise ist das Paradoxum unbedingt notwendig bei Zeitreisen

    Denknotwendig ist das nicht. Es könnte ja Naturgesetze geben, die Zeitrreisen möglich machen, aber alles verhindern, was zu einem Paradoxon führen würde.

    Weiteres siehe hier: Zeitreisen aus der Sicht eines Physikers.

  9. pinetop sagt:

    Und jetzt lüge ich

  10. Frank Berghaus sagt:

    #9 pinetop am 7. Dezember 2011 um 12:45

    Das hatten wir auch nicht anders erwartet :-)

  11. Firithfenion sagt:

    #6 Rechtspopulist am 7. Dezember 2011 um 12:35
    Ein Paradoxon fällt mir noch ein, das Lügner-Paradoxon: Da kommt ein Mann aus Kreta und sagt: "Aller Kreter lügen".
     
    Als Logik-Aufgabe sind solche Problemstellungen sicher ganz interessant. Sie kranken aber an ihrem Formalismus und ihrer Weltfremdheit. Denkt man darüber nach, dann stellt sich heraus dass das scheinbare Paradox nur dadurch entsteht, das man von unrealistischen Grundannahmen ausgeht. In diesem Falle ist es die korrekte Definition eines Lügners. Was ist ein Lügner? In Logik Aufgaben ist es einfach. Dort ist ein Lügner jemand, der stets das Gegenteil der Wahrheit sagt. Eine solche Definition ist aber völlig unrealistisch und Wirklichkeitsfremd. Gäbe es einen solchen Menschen, wäre er schnell als Lügner entlarvt und anschliessend ebensogut wie ein Wahrheitssprecher denn man bräuchte seine Aussagen nur umzukehren. Die Wirklichkeit ist aber nicht binär. Auch ein aufrichtiger Mensch lügt gelegentlich und auch ein Lügner wird gelegentlich die Wahrheit sagen, schon deshalb, um seine späteren Lügen glaubwürdiger erscheinen zu lassen. Man könnte vielleicht sagen das ein aufrichtiger Mensch nur aus Höflichkeit lügt oder um jemanden damit zu helfen oder zu schützen. Ein Lügner hingegen lügt aus niederigen Motiven um sich Vorteile zu verschaffen, in Fällen in denen eine Lüge ihm keinen ersichtlichen Nutzen bringt, wird er vermutlich dazu tendieren, die Wahrheit zu sagen um sich den Nimbus eines Wahrheitssprechers anzueignen.

  12. Pingback: Einheit, Dualität und Paradoxie - systemisches NLP

  13. Pingback: Einheit, Dualität und Paradoxie – hypnosystemisches Denken

Schreibe einen Kommentar